Novos números infinitos desafiam as leis da matemática

Quem nunca pensou que poderia quebrar as leis da matemática contando além do infinito? Porque, ao que parece, os pesquisadores descobriram o que existe no universo desconhecido de números infinitos.

Em um artigo publicado em 18 de novembro no portal de pré-impressão ArxivJuan P. Aguilera, Joan Bagaria e Phillip Lucke apresentam o conceito de números cardinais “ultraexatos”, que “vivem na região mais alta da hierarquia dos grandes cardeais”. Os números cardinais são aqueles que representam uma quantidade absoluta ou exata de algo, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Os grandes cardinais são números “tão grandes que não é possível provar que existem usando os axiomas padrão da matemática”, explica Joan Bagaria, um dos três coautores do novo artigo ao portal Ciência IFL. Esses números existem além do ZFC, sigla que significa “Zermelo-Fraenkel mais Axioma da Escolha”, dois conjuntos mínimos de regras que constituem a base de quase toda a matemática do mundo.

A sua existência fora da ZFC não pode ser provada, mas é supostamente verdadeira, da mesma forma que x = x. Esta posição fora das regras, no entanto, faz dos grandes cardeais uma ferramenta valiosa para lidar com as áreas mais complicadas da matemática.

Eles “permitem-nos provar muitos teoremas novos e, portanto, decidir muitas questões matemáticas que são indecifráveis ​​usando apenas os axiomas do ZFC”, argumentou Bagaria.

Novos números

A pesquisa dos cientistas descobriu que os cardeais são divididos em “exatos” e “ultraexatos”, que vivem na região mais alta da hierarquia dos grandes cardeais.

Até então, tudo bem. No entanto, os novos cardeais causam problemas para as imagens do infinito de alguns matemáticos. O problema surge devido a uma propriedade chamada Definebilidade Ordinal Hereditária (HOD): a ideia de que um conjunto, mesmo infinitamente grande, pode ser compreendido “contando até ele”.

É uma ferramenta útil para resolver problemas infinitos. Se todos os conjuntos pudessem ser definidos desta forma, o caos dos grandes cardeais seria um descuido e não uma revelação.

Na última década, os teóricos debateram a chamada conjectura HOD. “A conjectura HOD diz-nos que o universo matemático é ordenado e ‘próximo’ do universo de objetos matemáticos definíveis”, disse Juan Aguilera, co-autor do novo artigo.

“Normalmente, as grandes noções de infinito ‘ordenam-se’ no sentido de que, mesmo que sejam descobertas em contextos diferentes, uma é sempre claramente maior ou menor que as outras”, disse Aguilera. “Os cardeais ultraprecisos parecem ser diferentes.”

Além de não se adaptarem bem a si mesmos, os ultraexatos fazem com que os cardeais se comportem de forma “estranha” com noções de infinito. “Eles amplificam outros infinitos: cardeais considerados ‘ligeiramente grandes’ comportam-se como infinitos muito maiores na presença de cardeais ultraexatos”, acrescenta o cientista.

Acompanhe o canal Correio no WhatsApp e receba as principais notícias do dia no seu celular

Em outras palavras, o conjunto dos cardeais ultraexatos é um emaranhado inesperado no que se esperava ser uma hierarquia bem definida, e tem impactos diretos na definição do infinito.

Depois de tantos anos acreditando na conjectura HOD, será que é realmente tão ruim que os cardeais ultraexatos não a obedeçam? A nova pesquisa abre um novo mundo de grandes cardeais, com comportamentos e implicações prontos para serem investigados.

“Pode ser que estes sejam os primeiros exemplos de um novo tipo de infinito”, acrescenta Aguilera.

Vale ressaltar que o estudo está em fase de pré-impressão e ainda precisa passar por revisão por pares.